Sollicitation simple : Traction et compression (cours)

© Astvatsatur AMBARTSUMIAN

Résistance des matériaux (RDM)

Sollicitation simple : Traction et compression

Sommaire :

• Définition
• Essai de traction 
• Étude des contraintes
• Condition de résistance
• Étude des déformations
• Relation contrainte/déformation
• Application

   1. Définition :

Une poutre est sollicitée en traction simple (en compression) lorsqu’elle est soumise à deux forces axiales directement opposées, appliquées au centre des surfaces extrêmes, qui tendent à l’allonger (à la raccourcir).

Une poutre est en traction (en compression) dès que le torseur des efforts intérieurs dans (G ; x ; y ; z) s’exprime sous la forme suivante :

N : effort normal (effort extérieur)

Si N > 0 : traction ;

Si N < 0 : compression.

   2. Essai de traction :

Fig. 1 – Machine de traction

Fig. 2 – Déformations de l’éprouvette

Fig. 3 – Courbe contrainte/déformation dans un essai de traction

 : contrainte normale ;

 : déformation ;

– O à A : zone de déformation élastique (réversible) ;

– A à D : zone de déformation plastique répartie.

   3. Étude des contraintes :

Pour une poutre, de section S, sollicitée à la traction simple la valeur de la contrainte normale est égale au rapport de l’effort normal N par la section S.

: contrainte réelle de traction en tout point de la section S ( ou MPa) ;

S : aire de la section droite de la pièce () ;

N : effort extérieur de traction sollicitant la pièce (newton, N).

   4. Condition de résistance :

Afin qu’une pièce résiste aux sollicitations, il faut être certain de rester dans la zone de déformation élastique.

Pour des raisons de sécurité la contrainte  doit rester inférieure à une valeur limite appelée résistance pratique à l’extension  (dans le cas de la compression ).

En général, on adopte un coefficient de sécurité s.

Tableau 1 – Coefficients de sécurité en mécanique

La condition de résistance d’une pièce en traction :  

, donc

 : résistance pratique à l’extension ( ou MPa) ;

 : résistance élastique à l’extension ( ou MPa) ;

S : coefficient de sécurité (sans unité).

Tableau 2 – Résistance élastique en traction de matériaux usuels

Résistance élastique à l’extension ou Limite élastique :

Cette contrainte marque la fin du domaine élastique. Pour les valeurs supérieures, le matériau ne se déforme plus élastiquement. (Voir Fig. 3 – Courbe contrainte/déformation)

   5. Étude des déformations :

On appelle déformation le rapport de la variation de longueur  sur la longueur de référence  :

 : (epsilon) allongement relatif en % ;

 : allongement  (mm) ;

 : longueur avant déformation (mm) ;

L : longueur après déformation (mm).

La partie (OA) est la partie élastique. La pente de la droite (OA) est appelée module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young : c’est une caractéristique du matériau que l’on notera E. La relation entre la contrainte normale et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke :

E : module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young ( ou MPa). 

 

La déformation longitudinale  s’accompagne d’une déformation de contraction transversale .

Le rapport  est appelé coefficient de Poisson et est noté ѵ.

On a donc :

Tableau 3 – Quelques caractéristiques mécaniques des matériaux (module d’Young et coefficient de Poisson)

 

   6. Relation contrainte/déformation :

 loi de Hooke

soit encore :

Donc, on peut également exprimer la déformation en fonction de la contrainte normale :

   7. Application :

Exercice #1

 

Un arbre mécanique en acier (faiblement allié) d’un tracteur de diamètre de 12 mm et de longueur de 70 mm est soumis à un effort de traction de 1400 N. Le coefficient de sécurité est : s = 7.

• Vérifier que cet arbre résiste à cette force dans des conditions de sécurité satisfaisantes.
• Déterminer son allongement.

La condition de résistance d’une pièce en traction :

; ;

 ;

 s : coefficient de sécurité = 7 ;

 : résistance élastique à l’extension (voir tableau)

 = 700/7 = 100 MPa

On a donc :

12,38 MPa ≤ 100 MPa

Cet arbre résiste !

Maintenant, on va déterminer son allongement :

 ;  : allongement (mm).

 : longueur avant déformation = 70 mm ;

 : (epsilon) allongement relatif – ?

 : loi de Hooke

 = 12,38 MPa ;

E : module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young (voir tableau)

E = 2,1 x 10⁵ MPa pour acier ;

 

;

Résultat :

• Arbre résiste !
• Allongement est de 0,004 mm

Exercice #2

La partie AB de la construction en tube carré aluminium (20 X 20 mm, épaisseur 2 mm) est soumise à un effort de compression de 3 000 N. Sa longueur est de 300 mm. Le coefficient de sécurité est : s = 6 et la résistance élastique à la compression est : 145 MPa.

• Vérifier que La partie AB résiste à cette force dans des conditions de sécurité satisfaisantes.

La condition de résistance d’une pièce en compression :

 ;

Recherche de la section du tube carré :

S = (20 x 20) – (16 X 16) = 144 ;  

 = 3000/144 = 20,83 MPa ;

s : coefficient de sécurité = 6 ;

 : résistance élastique à la compression.

 = 145/6 = 24,16 MPa

On a donc :

20,83 MPa ≤ 24,16 MPa

Résultat :

Cette partie de la construction en tube carré alu résiste !

 

Voir l’article : Sollicitation simple : Cisaillement