© Astvatsatur AMBARTSUMIAN
Résistance des matériaux (RDM)
Sollicitation simple : Traction et compression
Sommaire :
- Définition
- Essai de traction
- Étude des contraintes
- Condition de résistance
- Étude des déformations
- Relation contrainte/déformation
- Application
1. Définition :
Une poutre est sollicitée en traction simple (en compression) lorsqu’elle est soumise à deux forces axiales directement opposées, appliquées au centre des surfaces extrêmes, qui tendent à l’allonger (à la raccourcir).
Une poutre est en traction (en compression) dès que le torseur des efforts intérieurs dans (G ; x ; y ; z) s’exprime sous la forme suivante :
N : effort normal (effort extérieur)
Si N > 0 : traction ;
Si N < 0 : compression.
2. Essai de traction :
Fig. 1 – Machine de traction
Fig. 2 – Déformations de l’éprouvette
Fig. 3 – Courbe contrainte/déformation dans un essai de traction
: contrainte normale ;
: déformation ;
– O à A : zone de déformation élastique (réversible) ;
– A à D : zone de déformation plastique répartie.
3. Étude des contraintes :
Pour une poutre, de section S, sollicitée à la traction simple la valeur de la contrainte normale est égale au rapport de l’effort normal N par la section S.
: contrainte réelle de traction en tout point de la section S (
ou MPa) ;
S : aire de la section droite de la pièce (
) ;
N : effort extérieur de traction sollicitant la pièce (newton, N).
4. Condition de résistance :
Afin qu’une pièce résiste aux sollicitations, il faut être certain de rester dans la zone de déformation élastique.
Pour des raisons de sécurité la contrainte doit rester inférieure à une valeur limite appelée résistance pratique à l’extension 
(dans le cas de la compression 
).
En général, on adopte un coefficient de sécurité s.
Tableau 1 – Coefficients de sécurité en mécanique
La condition de résistance d’une pièce en traction : 
, donc 
: résistance pratique à l’extension ( ou MPa) ;
: résistance élastique à l’extension ( ou MPa) ;
S : coefficient de sécurité (sans unité).
Tableau 2 – Résistance élastique en traction de matériaux usuels
Résistance élastique à l’extension ou Limite élastique :
Cette contrainte marque la fin du domaine élastique. Pour les valeurs supérieures, le matériau ne se déforme plus élastiquement. (Voir Fig. 3 – Courbe contrainte/déformation)
5. Étude des déformations :
On appelle déformation le rapport de la variation de longueur 
sur la longueur de référence 
:
: (epsilon) allongement relatif en % ;
: allongement 
(mm) ;
: longueur avant déformation (mm) ;
L : longueur après déformation (mm).
La partie (OA) est la partie élastique. La pente de la droite (OA) est appelée module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young : c’est une caractéristique du matériau que l’on notera E. La relation entre la contrainte normale et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke :
E : module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young ( ou MPa).
La déformation longitudinale s’accompagne d’une déformation de contraction transversale 
.
Le rapport 
est appelé coefficient de Poisson et est noté ѵ.
On a donc :
6. Relation contrainte/déformation :
loi de Hooke
soit encore :
Donc, on peut également exprimer la déformation en fonction de la contrainte normale :
7. Application :
Exercice #1
Un arbre mécanique en acier (faiblement allié) d’un tracteur de diamètre de 12 mm et de longueur de 70 mm est soumis à un effort de traction de 1400 N. Le coefficient de sécurité est : s = 7.
- Vérifier que cet arbre résiste à cette force dans des conditions de sécurité satisfaisantes.
- Déterminer son allongement.
La condition de résistance d’une pièce en traction :
; 
;
;
s : coefficient de sécurité = 7 ;
: résistance élastique à l’extension (voir tableau)
= 700/7 = 100 MPa
On a donc :
12,38 MPa ≤ 100 MPa
Cet arbre résiste !
Maintenant, on va déterminer son allongement :
; : allongement (mm).
: longueur avant déformation = 70 mm ;
: (epsilon) allongement relatif – ?
: loi de Hooke
= 12,38 MPa ;
E : module d’élasticité (longitudinale) ou module de Young (voir tableau)
E = 2,1 x 105 MPa pour acier ;
; 
Résultat :
- Arbre résiste !
- Allongement est de 0,004 mm
Exercice #2
La partie AB de la construction en tube carré aluminium (20 X 20 mm, épaisseur 2 mm) est soumise à un effort de compression de 3 000 N. Sa longueur est de 300 mm. Le coefficient de sécurité est : s = 6 et la résistance élastique à la compression est : 145 MPa.
- Vérifier que La partie AB résiste à cette force dans des conditions de sécurité satisfaisantes.
La condition de résistance d’une pièce en compression : 
;
Recherche de la section du tube carré :
S = (20 x 20) – (16 X 16) = 144 ;
= 3000/144 = 20,83 MPa ;
s : coefficient de sécurité = 6 ;
: résistance élastique à la compression.
= 145/6 = 24,16 MPa
On a donc :
20,83 MPa ≤ 24,16 MPa
Résultat :
Cette partie de la construction en tube carré alu résiste !
